Equazioni di Yule-Walker

In statistica per un modello autoregressivo (casuale) valgono le seguenti relazioni, dette equazioni di Yule-Walker:

• ${\displaystyle R_{yy}=-{\sum _{k=1}^{N}a_{k}R_{yy}(n-k)+R_{yx}(n)}}$

• ${\displaystyle R_{yx}(n)=\left\{{\begin{matrix}0\,\,\,per\,\,\,n>0\\{\sigma _{n}^{2}}\,\,\,per\,\,\,n=0\,\end{matrix}}\right.}$

In particolare, la matrice ${\displaystyle R}$ dei coefficienti delle equazioni di Yule-Walker è una matrice di Toeplitz; cioè è simmetrica (o hermitiana, nel caso di sequenze complesse) e tutti gli elementi appartenenti alla stessa diagonale, o subdiagonale, sono eguali tra loro. La matrice ${\displaystyle R[N\times N]}$ è pertanto caratterizzata da ${\displaystyle N}$ numeri e può dunque essere rappresentata da:

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}r_{0}&r_{-1}&..&r_{-N}\\r_{1}&r_{0}&..&r_{-N+1}\\r_{2}&r_{1}&..&r_{-N+2}\\..&..&..&..\\r_{N}&r_{N-1}&..&r_{0}\\\end{bmatrix}}}$

Nota: Per ricavare l'elemento m-esimo ${\displaystyle r_{m}}$ si veda la procedura di derivazione sotto esposta.